已知正数$x$,$y$满足$3x-5y=4x^2y^2$，求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值。

解答

由题，我们有

$$\frac{1}{xy}(\frac{3}{y}-\frac{5}{x})=4$$ 配凑后使用三元均值不等式可得 $$80=\frac{10}{x}\cdot\frac{2}{y}\cdot(\frac{3}{y}-\frac{5}{x})\le[\frac{5}{3}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})]^3$$ 所以$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{6}{5}\sqrt[3]{10}$
等号成立当且仅当 $$\frac{10}{x}=\frac{2}{y}=\frac{3}{y}-\frac{5}{x}$$ 此时$x=\sqrt[3]{\frac{25}{2}}$，$y=\sqrt[3]{\frac{1}{10}}$