数学趣题版块

2022-07-23

起初，创设这个博客是为了数学的每日一题，后来因为各种原因搁置了。现在也已经没有当初坚持走数学方向的那份定力，准备往CV方向走一走看。

但既然决定了捡回博客，就重新开设一个数学趣题的版块，不定期的写一些自己无意中看到的，别人问我的，或者是兴致上来了自拟的题目。

题目10

2022-12-21

已知函数 $f(x)=x(e^{\sin x}-\ln{}{x})-1$ ，试研究 $g(x)=f(x)+1$ 的零点个数

2022-12-20

已知正数 $x$ , $y$ 满足 $3x-5y=4x^2y^2$ ，求 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ 的最小值。

2022-12-17

已知函数 $f(x) = 2e^x + \sin x - 2(x \ge 0)$
(1)求 $f(x)$ 的单调区间与零点。
(2)若 $e^x + \ln_{}{(x+1)} - 1 \ge af(x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围。

2022-11-29

这是一个抓老鼠问题：
现在有五个盒子(编号1-5)水平排列，有一只老鼠生活在其中一个盒子里。这只老鼠每天必定会更换一个盒子生活，且只会换到相邻的盒子内。

你每天可以打开其中一个盒子查看，如果盒子中有老鼠，则可以立刻抓住老鼠。如果盒子中没有老鼠，你必须立刻关闭盒子。
假设老鼠足够聪明，且可以预知你的操作。
问：是否有必定抓到老鼠的策略？试给出你的方案

2022-09-17

已知非零实数 $x,y$ 满足 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2xy = x^{2} - y^{2}$ ，求 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值。

2022-09-12

已知 $m$ 和 $n$ 均为质数，且满足 $5m+7n=129$ ，求符合条件的所有 $m$ 和 $n$ 。

2022-08-27

连接正 $n$ 边形 $(n\ge 4)$ 的中心与各个顶点形成 $n$ 个全等三角形，用最多 $n-2$ 种颜色为各三角形染色，要求两个相邻的三角形不能同色，记共有涂色方法 $R_{n}$ 种，证明：

$R_{n} = (n-3)^{n} + (-1)^{n-2} (n-3)$

2022-08-03

求极限

$\lim_{x \to 0} \frac{ln\frac{1+x}{1-x} -2ln(x+\sqrt{1+x^2})}{x^3}$

2022-08-02

设 $f(x)=\ln_{}{(x+\sqrt{1+x^{2}})}$ ，则 $f^{''}(0)$ 的值为_____