已知函数$f(x) = 2e^x + \sin x - 2(x \ge 0)$
(1)求$f(x)$的单调区间与零点。
(2)若$e^x + \ln_{}{(x+1)} - 1 \ge af(x)$恒成立，求实数$a$的取值范围。

解答

(1)$f'(x) = 2e^x + \cos x \ge 2e^x - 1 > 0$
故$f(x)$在$[0,+\infty)$上单增
由于$f(0) = 0$，故零点唯一，为$x = 0$

(2)我们先证明

$$\ln_{}{(x+1)} > 2 \sin x$$ 在$[0,+\infty)$上恒成立，证明如下：
    ①$x \in [1,+\infty)$时，
$$\ln_{}{(x+1)} \ge \ln_{}{2} = \frac{1}{2} \ln_{}{4} > \frac{1}{2} \ln_{}{e} = \frac{1}{2} > \frac{1}{2} \sin x$$
    ②$x \in [0,1)$时，
$$\ln_{}{(x+1)} \ge \frac{x}{x+1} > \frac{1}{2} x \ge \frac{1}{2} \sin x$$ 回到本题，我们有 $$\frac{e^x + \ln_{}{(x+1)} - 1}{f(x)} = \frac{e^x + \ln_{}{(x+1)} - 1}{2e^x + \sin x - 2} > \frac{e^x + \frac{1}{2}\sin x - 1}{2e^x + \sin x - 2} = \frac{1}{2}$$ 故$a \le \frac{1}{2}$

另一方面，若$a > \frac{1}{2}$，有如下矛盾：
当$x > max (\frac{4}{2a-1} ,4a)$时，
我们有

$$(2a-1)e^x > (2a-1)\cdot \frac{1}{2}x^2 > 2x > x+4a$$ 故 $$e^x+x < 2ae^x-4a$$ 从而 $$\frac{e^x + \ln_{}{(x+1)} - 1}{2e^x + \sin x - 2} < \frac{e^x + \ln_{}{(x+1)} - 1}{2e^x - 4} < \frac{e^x + x}{2e^x - 4} < \frac{2ae^x - 4a}{2e^x - 4} = a$$ 这与题意矛盾。

综上所述，$a \in (-\infty,\frac{1}{2}]$