已知非零实数$x,y$满足$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2xy = x^{2} - y^{2}$，求$x^{2} + y^{2}$的最小值。

解答

这道题的做法有很多。比如我们可以利用三角换元$\begin{equation} \begin{cases} x=r\cos \theta \\ y=r\cos \theta \end{cases} \end{equation}$解决，或者利用换元$\frac{y}{x} = t$解决。
不过，我们看下面这个解法：

$$\begin{align} x^{2} + y^{2} &= xy(x^{2} - y^{2}) - 2x^{2}y^{2} \\ &\le (\sqrt{2} + 1)x^{2}y^{2} + \frac{\sqrt{2} - 1}{4} (x^{2} - y^{2})^{2} - 2x^{2}y^{2} \\ &= \frac{\sqrt{2} - 1}{4} (x^{2} + y^{2})^{2} \end{align}$$ 由于$x,y$是非零实数，所以
$$x^{2} + y^{2} \ge 4\sqrt{2} + 4$$

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这个做法太巧妙了，巧妙到过程只需一行。但过程虽然简洁，思路却很晦涩难懂。下面来分析一下这个解法的思路。
先来看下面这个我们熟知的不等式：

$$ab \le \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$$ 等号成立当且仅当$a=b$。其实，这个不等式可以推广为
$$ab \le pa^{2} + qb^{2}$$ 其中，$pq=\frac{1}{4}$，等号成立当且仅当$\sqrt{p}a = \sqrt{q}b$。证明如下：
首先
$$(ma-nb)^{2} \ge 0$$ 于是
$$m^{2}a^{2} + n^{2}b^{2} \ge 2mnab$$ 所以
$$ab \le \frac{m^{2}a^{2} + n^{2}b^{2}}{2mn} = \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{n} a^{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{n}{m} b^{2}$$

回到题目，这个解法的构造关键点在于：能否注意到$x^{2} + y^{2}$、$x^{2} - y^{2}$、$x^{2}y^{2}$之间的关系。
事实上，得到式子$x^{2} + y^{2} = xy(x^{2} - y^{2}) - 2x^{2}y^{2}$后，我们下一步的关键其实就是找出$x^{2} - y^{2}$、$x^{2}y^{2}$、$xy$三个式子和$x^{2} + y^{2}$之间的关系。
要想将$x^{2} + y^{2}$、$x^{2} - y^{2}$、$x^{2}y^{2}$结合起来，我们应该想到这样的思路：

$$(x^{2} - y^{2})^{2} + 4x^{2}y^{2} = (x^{2} + y^{2})^{2}$$ 看到这里我们再回头看上面那个解法，就能明白它是朝哪个方向配凑的了。