设$f(x)=\ln_{}{(x+\sqrt{1+x^{2}})}$，则$f^{''}(0)$的值为_____

解答

由题
$$f^{'}(x)=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}} \cdot (1+\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}})$$可求出
$$f^{''}(x)=-\frac{1}{(x+\sqrt{1+x^{2}})^2} \cdot (1+\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}})^2 + \frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}} \cdot (\frac{\sqrt{1+x^{2}}-\frac{x^2}{\sqrt{1+x^{2}}}}{1+x^2} )$$从而我们有$f^{''}(0)=0$

当然，按照上面这么做也没有问题，但是如果需要求的是$f^{(5)}(0)$呢？
盲目计算有时候可以达到一定的效果，但是非常有限。

事实上，$f(x)$是一个奇函数，所以$f^{'}(x)$为偶函数，$f^{''}(x)$为奇函数
从而$f^{''}(0)=0$